רמב''ם מלווה ולווה פרק כ''א הלכה א' והלכה י There is a  case of a מלווה a לווה and someone that bought a field from the לווה after the הלוואה. If the שדה is regular, not a אפותיקי for the loan, the מלווה gets it in case of default and חצי the שבח and in 'הלכה א he does not even pay for the הוצאות. In 'פרק כ'א הלכה י when the field is אפותיקי collateral for the הלוואה, the way the מגיד משנה explains it is if the הוצאות are more than the שבח he gets חצי השבח and pays nothing.  If the שבח is  more than the הוצאות, he can take all the שבח and pay for the הוצאות and then the buyer gets paid back for the rest of the שבח from the seller. The first part of the הלכה is clear. The שבח is more than the הוצאה so the בעל חוב says שדה שלי עשה את השבח so he is claiming all the שבח and pays the הוצאה. But then if the שבח is less than the הוצאה, he collects חצי from the בעל חוב and חצי from the מוכר.  At that point the בעל חוב  comes with the claim of normal שיעבוד (not אפותיקי) by which he has  a right to only half the שבח as it says in בבא בתרא. Still the בעל חוב gets the field with all the שבח,  but he has to pay only for a חצי and the other חצי he has a right to. So the lender does not pay anything for that half of the שבח. So for that part  the לוקח has to collect from the according to their agreement where the מוכר wrote, "What I buy will be משועבד to this חוב." In any case, the part the part that the בעל חוב is collecting because of "מה שאקנה יהיה משועבד לחוב הזה" he is not paying for. The only part he pays for is that which comes because it is part of the field. So with regards to 'כ''א הלכה י where the רמב''ם brings two opinions if the בעל חוב pays for the הוצאה in the normal case that the field is not אפותיקי he is going like the opinion he does not have to pay.

The thing is here the Rambam is clearly fitting this Halacha of half שבח with Bava Metzia 101 הנכנס לשדה חבירו ונטע אילנות ידו על התחתונה היינו או הוא מקבל את השבח או ההוצאה

There is a lot to think about here because of the relation between Bava Metzia page 101 an 14b that Tosphot sees here. But as I wrote before the Rambam sees these two Gemarot as dealing with different situations. Which leads me to wonder  why here we see the Rambam is apparently seeing them as related. Plus I wonder why 1/2 improvement only comes up with collateral אפותיקי. So I realize this whole subject still needs a lot of work and I have only just begun to scratch the surface.
[However until God grants to me a Gemara or a copy of Rav Shach's Avi Ezri there is little progress I can make here. I am pretty sure that I saw both Rav Shach and Reb Chaim Soloveitchik dealing with these issues in Bava Metzia page 14 and 15, but without being able to look up what they say, I feel limited in ability to make progress here.]

 רמב''ם מלווה ולווה פרק כ''א הלכה א' והלכה י' קיים מקרה של מלווה לווה ומישהו שקנה שדה מן הלווה לאחר ההלוואה. אם השדה הוא רגיל, לא אפותיקי עבור ההלוואה, המלווה מקבל את זה במקרה של ברירת מחדל וחצי השבח ובהלכה א' הוא אפילו אינו משלם עבור ההוצאות. בפרק כ''א הלכה י' כאשר השדה הוא אפותיקי עבור הלוואה, את הדרך שבה מגיד משנה מסביר שזה היא שאם הוצאות יתרות מאשר השבח הוא מקבל חצי השבח ומשלם כלום. אם השבח הוא יותר מאשר ההוצאות, הוא יכול לקחת את כל השבח ולשלם עבור ההוצאות ואז הקונה מקבל תשלום בחזרה עבור שאר השבח מהמוכר. חלק הראשון של ההלכה ברור. השבח הוא יותר מאשר הוצאה ולכן בעל החוב אומר שדה שלי עשה את השבח ולכן הוא תובע את כל השבח ומשלם ההוצאה. אבל אז אם השבח הוא פחות ההוצאה, שהוא אוסף חצי מן בעל החוב וחצי מן מוכר.  כי בעל החוב מגיע עם הטענה  נורמלית של שיעבוד (לא אפותיקי) שבאמצעותה יש לו זכות רק לחצי השבח כפי שכתוב בבבא בתרא. ועדיין בעל החוב מקבל את השדה עם כל השבח, אבל הוא צריך לשלם רק עבור חצי והחצי השני יש לו זכות בו. אז המלווה אינו משלם כלום עבור חצי שבח הזה. אז בשביל זה הלוקח אוסף מן פי הסכמתם שבו מוכר כתב, "מה אני קונה יהיה משועבד אל חוב זה." בכל מקרה, החלק שבעל החוב אוסף בגלל "מה שאקנה יהיה משועבד לחוב הזה" הוא לא משלם עבורו. החלק היחיד שהוא משלם עבורו הוא אשר מגיע כי הוא חלק מהשדה.

What I think I going on here is this: [In my hand written notes I go into a lot of the problems that this halacha presents to us. However for right now I want just to write down my thoughts about what I think it means.] I think the main issue here is the difference between a regular loan and a אפותיקי pledge for a loan. In the case of a regular pledge the lender has no choice. He simply gets half of the improvements  for free and if he takes the whole field with all the improvements then he pays for the other half of the improvements. In that case the buyer would collect from the borrower the other half.
But in the case of an אפותיקי I think the Rambam is saying that the lender has a choice. He can take the option in which he pays the least amount. Either he can go with the same option as in the above case where he gets half the improvements for free. The other choice is he can say שדה שלי השביח and then we treat the field as if it was already his field and the borrower is like the case on page 101 היורד לתוך שדה חבירו ונטע שתילים. In that case the lender pays the least amount either the שבח or the הוצאה. But if he pays for the  שבח he would pay only half the שבח.

מה שאני חושב שהולך כאן הוא זה: אני חושב שהנושא העיקרי כאן הוא ההבדל בין הלוואה רגילה לבין הלוואה עם משכון או אפותיקי. במקרה של שעבוד רגיל למלווה אין ברירה. הוא פשוט מקבל מחצית השיפורים בחינם, ואם הוא רוצמ לקחת את כל השדה עם כל השיפורים אז הוא משלם עבור החצי השני של השיפורים. במקרה כזה הקונה  יאסוף מהלווה את החצי השני. אבל במקרה של אפותיקי אני חושב שהרמב''ם אומר כי יש למלווה בחירה. הוא יכול לקחת את האופציה שבה הוא משלם את הסכום הנמוך ביותר. היינו שהוא יכול ללכת לפי האפשרות כמו במקרה הנ"ל, ששם הוא מקבל חצי שיפורים בחינם. הבחירה השנייה היא שהוא יכול לומר "השדה שלי השביח" ולאחר מכן אנו מטפלים השדה כאילו  היה כבר ברשותו של המלווה הוא כמו המקרה בעמוד ק''א היורד לתוך שדה חבירו וניטע שתילים. במקרה כזה המלווה משלם את הסכום .
.הנמוך ביותר או את השבח או ההוצאה. אבל אם הוא משלם עבור השבח הוא ישלם רק חצי השבח

It is tempting  to suggest that perhaps if the lender pays the הוצאה that he would pay only half, but it does not seem to make much sense either. After all half the improvement we can understand the lender already owns. But half the expenses? It seems not.

אבל אם כשהוא משלם עבור השבח הוא משלם רק חצי השבח, מפתה להציע שאולי אם כשהמלווה משלם על ההוצאה שישלם רק חצי, אבל זה לא נראה הגיוני. אחרי הכל חצי השיפור נוכל להבין ששייך למלווה כבר אחרי שהקרקע נחשבת שלו אבל מחצית ההוצאות? כנראה שלא.